Integral de \( a^x \)

Derivación paso a paso, cambio de base exponencial, fórmula y referencias

Derivación y evaluación

Evalúa la integral indefinida:

\[ \int a^x \, dx \]

donde \( a \) es una constante tal que \( a > 0 \) y \( a \neq 1 \).

Primero cambiamos la base de la expresión exponencial \( a^x \):

Sea \( y = a^x \) y tomemos el logaritmo natural (\( \ln \)) de ambos lados:

\[ \ln y = \ln(a^x) \]

Utilizando la propiedad de los logaritmos \( \ln(a^x) = x \ln a \), reescribimos esto como:

\[ \ln y = x \ln a \]

Aplicar la función exponencial a ambos lados da:

\[ y = e^{x \ln a} \]

Dado que \( y = a^x \), obtenemos la identidad:

Conversión de base exponencial: \[ a^x = e^{x \ln a} \]

Utilizando esta identidad, la integral dada se puede reescribir como:

\[ \int a^x \, dx = \int e^{x \ln a} \, dx \qquad (1) \]

Ahora evaluamos la integral del lado derecho utilizando sustitución:

Sea \( u = x \ln a \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \ln a \). Por definición [1] [2] [3], el diferencial es \( du = \ln a \, dx \), o \( dx = \dfrac{1}{\ln a} \, du \).

Sustituye en la integral (1):

\[ \int e^{x \ln a} \, dx = \int e^u \left( \dfrac{1}{\ln a} \right) du = \dfrac{1}{\ln a} \int e^u \, du \]

Evalúa la integral estándar \( \int e^u \, du = e^u + c \):

\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^u + c \]

donde \( c \) es la constante de integración.

Sustituye de nuevo \( u = x \ln a \):

\[ = \dfrac{1}{\ln a} e^{x \ln a} + c \]

Finalmente, utilizando la relación \( e^{x \ln a} = a^x \), llegamos a la fórmula de integración estándar:

Fórmula de la integral para \( a^x \): \[ \int a^x \, dx = \dfrac{1}{\ln a} a^x + c \]

Más referencias y enlaces

  1. Tabla de fórmulas de integrales
  2. University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  3. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  4. Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8